Trong số các ánh xạ từ không gian vector \(V\) đến không gian vector \(W\) có một lớp quan trọng là lớp ánh xạ tuyến tính, aka Linear Transformation.

Ánh xạ tuyến tính bảo toàn các tính chất về phép cộng và phép nhân với một số. Cụ thể, nếu có \(T : V \rightarrow W\) thì:

  •  \(T(u+v) = T(u) + T(v)\), \(\forall u,v\in V\).
  •  \(T(ku) = kT(u)\), \(\forall k\in \mathbb{R},\ \forall u\in V\).

Cho \(V\) và \(W\) lần lượt là hai không gian vector \(n\) chiều và \(m\) chiều, mọi ánh xạ tuyến tính \(T: V\rightarrow W\) có thể được biểu diễn qua một ma trận \(A\in \mathscr{M}_{m\times n}\).

Gọi \(\{v_1, v_2, \dots, v_n\}\) là cơ sở của \(V\), khi đó, mọi vector \(v\) có biểu diễn duy nhất:

\[v = \sum_{j=1}^n c_jv_j\]

Vậy nên \(T(v) = c_1T(v_1)+\dots+c_nT(v_n)\)

Ngoài ra thì \(T(v_j)\in W\) nên nếu \(\{w_1, \dots, w_m\}\) là cơ sở của \(W\) thì:

\[T(v_j) = a_{1j}w_1 + a_{2j}w_2 + \dots + a_{mj}w_m\]

Như vậy, nếu ta viết tọa độ của \(n\) giá trị \(T(v_j)\) ứng với cơ sở trong \(W\) nói trên thành các cột của một ma trận \(A\in \mathscr{M}_{m\times n}\) thì ánh xạ \(T\) được biểu diễn:

\[\begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} \dots & a_{1j} & \dots\\ \dots & a_{2j} & \dots\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ \dots & a_{mj} & \dots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}\] \[v\mapsto Av\]

Ma trận \(A\) gọi là ma trận ánh xạ, aka transformation matrix.

Các ví dụ về ánh xạ tuyến tính

Rotation

Phép quay mặt phẳng tọa độ (không gian Euclid \(\mathbb{R}^2\)) một góc \(\varphi\) là một ánh xạ tuyến tính từ \(\mathbb{R}^2\) đến chính nó và có ma trận ánh xạ là:

\[\begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix}\]

Identically zero mapping

Ánh xạ \(T: V\rightarrow W\) chiếu từ một \(v\in V\) đến phần tử trung hòa của \(W\) gọi là ánh xạ không.

\[T: v\mapsto [0]\]

Identity mapping

Ánh xạ \(T: V\rightarrow V\) định nghĩa bởi \(T(v) = v\) được gọi là ánh xạ đồng nhất .

Scaling

Phép biến đổi tỉ lệ là ánh xạ \(T: V\rightarrow V\) được định nghĩa bởi \(T(v) = kv\) với \(k \in \mathbb{R}\). Nếu \(k > 1\), nó được gọi là phép giãn (dilation). Nếu \(k < 1\), nó được gọi là phép co (contraction).

Orthographic projection

Phép chiếu trực giao (cũng được gọi là orthogonal projection) là ánh xạ \(T: V\rightarrow W\) được định nghĩa bởi:

\[T(v) = \langle v, w_1\rangle w_1 + \dots + \langle v, w_m\rangle w_m\]

Các tính chất của ánh xạ tuyến tính

  \(V\) và \(W\) là hai không gian vector. \(T: V\rightarrow W\) là một ánh xạ tuyến tính. Ta có:

  •   \(T(0) = 0\)
  •   \(T(-v) = -T(v), \forall v\in V\)

Tập tất cả các phần tử của \(V\) có ảnh là \(0\in W\) được gọi là hạt nhân (kernel hay null space) của ánh xạ, kí hiệu \(\mathrm{Ker}(T)\). Đây cũng là một không gian vector, và là không gian con của \(V\).

Tập tất cả các phần tử của \(W\) có ít nhất một nghịch ảnh (pre-image) trong \(V\) được gọi là ảnh (image) của ánh xạ, kí hiệu \(\mathrm{Im}(T)\). Ta có \(\mathrm{Im}(T) = T(V)\). Đây là một không gian con của \(W\).

Cho \(T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) là ánh xạ tuyến tính biểu diễn bằng một ma trận \(A\). Không gian nghiệm của hệ thuần nhất \(Ax = 0\) là \(\mathrm{Ker} (T)\). Mặt khác, tập hợp những vector \(b\) sao cho hệ \(Ax=b\) thỏa mãn là \(\mathrm{Im} (T)\), hay gọi cách khác là không gian cột (column space, other names: range, image) của \(A\) (tức là không gian sinh bởi các cột của \(A\)). Số chiều của không gian cột của \(A\) được gọi là hạng của ánh xạ (và cũng bằng hạng của \(A\)):

\[\mathrm{dim}(\mathrm{Im}(T)) = \rho(A)\]

Định lý về số chiều (Rank-nullity theorem)

  \(V\) và \(W\) là hai không gian vector, \(V\) có hữu hạn chiều. \(T: V\rightarrow W\) là một ánh xạ tuyến tính. Định lý phát biểu rằng tổng số chiều của hạt nhân và ảnh của \(T\) bằng số chiều của \(V\). Tức là:

\[\mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(T)) + \mathrm{dim}(\mathrm{Im}(T)) = \mathrm{dim}(V)\]

hay viết cách khác:

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \mathrm{dim}(V)\]

▶ Chứng minh

Giả sử \(V\) có số chiều là \(n\) và \(\mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(T)) = k\) (với \(0 < k < n\)). Do đó, \(\mathrm{Ker}(T)\) sẽ có cơ sở là:

\[S_1=\{v_1, v_2, \dots, v_k\}\]

Ta có thể bổ sung thêm \(n-k\) vector độc lập tuyến tính để tạo thành:

\[S_2=\{v_1, v_2, \dots, v_k, v_{k+1}, \dots, v_n\}\]

là cơ sở của \(V\).

Ta cần chứng minh \(\mathrm{dim}(\mathrm{Im}(T))\) có \(n-k\) chiều. Xét họ vector:

\[S_3 = \{T(v_{k+1}), \dots, T(v_n)\}\]

Ta sẽ chứng minh \(S_3\) là họ độc lập tuyến tính và sinh ra \(\mathrm{Im}(T)\).

  •  \(S_3\) sinh ra \(\mathrm{Im}(T)\):

Xét \(v\in V\), ta có:

\[v = c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_nv_n\]

\(T(v)\in \mathrm{Im}(T)\), và:

\[\begin{aligned} T(v) &= T(c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_nv_n)\\ &= c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)\\ &= c_{k+1}T(v_{k+1}) + \dots + c_nT(v_n) \end{aligned}\]

(nhắc lại, \(v_i\in \mathrm{Ker}(T)\) với \(i \leq k\), nên \(T(v_i) = 0\))

Như vậy, \(S_3\) sinh ra \(\mathrm{Im}(T)\).

  •  \(S_3\) là độc lập tuyến tính.

Xét phương trình:

\[\begin{aligned} & c_{k+1}T(v_{k+1}) + \dots + c_nT(v_n) = 0\\ \Leftrightarrow & T(c_{k+1}v_{k+1} + \dots + c_nv_n) = 0\\ \Leftrightarrow & c_{k+1}v_{k+1} + \dots + c_nv_n \in \mathrm{Ker}(T) \end{aligned}\]

Do đó, \(c_{k+1}v_{k+1} + \dots + c_nv_n\) có thể được biểu diễn qua một tổ hợp tuyến tính các vector trong \(S_1\), ta viết:

\[\begin{aligned} & c_{k+1}v_{k+1} + \dots + c_nv_n = c_1v_1 + \dots + c_kv_k\\ \Leftrightarrow & c_1v_1 + \dots + c_kv_k - c_{k+1}v_{k+1} - \dots - c_nv_n = 0\\ \end{aligned}\]

Mà \(S_2\) là cơ sở của \(V\), nên rút ra được rằng \(c_i=0\ \forall i\). Suy ra rằng \(c_{k+1} = \dots = c_n = 0\).

Vậy \(S_3\) độc lập tuyến tính.

Từ hai điều trên cho thấy \(S_3\) là một cơ sở của \(\mathrm{Im}(T)\), nên số chiều của \(\mathrm{Im}(T)\) bằng số vector trong \(S_3\) bằng \(n-k\).

Trong trường hợp \(k = 0\), dễ thấy rằng \(\mathrm{Ker}(T) = \{0\}\). Ta đặt \(S_2 = \{v_1,\dots, v_n\}\) là một cơ sở của \(V\) và chứng minh \(S_3 = \{T(v_1),\dots, T(v_n)\}\) sinh ra \(\mathrm{Im}(T)\) và độc lập tuyến tính:

\[\begin{aligned} T(v) &= T(c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_nv_n)\\ &= c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)\\ \end{aligned}\]

Vậy \(S_3\) sinh ra \(\mathrm{Im}(T)\).

\[\begin{aligned} & c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n) = 0\\ \Leftrightarrow & T(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = 0\\ \Leftrightarrow & c_1v_1 + \dots + c_nv_n \in \mathrm{Ker}(T)\\ \Leftrightarrow & c_1v_1 + \dots + c_nv_n = 0\\ \end{aligned}\]

vì \(\mathrm{Ker}(T)\) chỉ có một vector duy nhất là 0. Mà \(S_2\) độc lập tuyến tính, nên \(c_i=0\ \forall i\), dẫn đến \(S_3\) độc lập tuyến tính.

Vậy \(\mathrm{dim}(\mathrm{Im}(T)) = n\).

Trong trường hợp \(k = n\), thêm yếu tố \(\mathrm{Ker}(T)\) là không gian con của \(V\), ta có \(\mathrm{Ker}(T) = V\). Chọn \(S_2 = \{v_1,\dots,v_n\}\) làm cơ sở của \(V\).

Như vậy, ta thấy \(T(v) \in \mathrm{Im}(T)\) và \(T(v) = 0\ \forall v\in V\). Tức là \(\mathrm{Im}(T) = \{0\}\), suy ra số chiều bằng 0.

Hệ quả

Nếu \(W\) là một không gian con của \(V\). Nếu ta định nghĩa:

\[W^{\perp} = \{v\in V : \langle w, v\rangle = 0\ \forall w\in W\}\]

Thì \(\mathrm{dim} W + \mathrm{dim} W^{\perp} = \mathrm{dim} V\). (Chứng minh tương tự)

Tính đẳng cấu

Xét ánh xạ \(f: A\rightarrow B\) trong đó \(A\) và \(B\) là các cấu trúc đại số đi kèm với một luật thành trong (ký hiệu là *). Nếu ta có:

\[f(x*y) = f(x)*f(y)\]

 (cũng áp dụng cho các phép toán đa ngôi)

thì \(f\) được gọi là một phép đồng cấu (homomorphism).

Áp dụng với ánh xạ tuyến tính \(T: V\rightarrow W\), trong đó luật thành trong là phép cộng vector. Ta có:

\[T(x+y) = T(x) + T(y)\]

nên \(T\) là một phép đồng cấu.

  • Nếu \(V\equiv W\) thì \(T\) gọi là phép tự đồng cấu (endomorphism).

  • Nếu \(T\) là một song ánh thì \(T\) gọi là phép đẳng cấu (isomorphism).

  • Nếu \(V\equiv W\) và \(T\) là một song ánh thì \(T\) gọi là phép tự đẳng cấu (automorphism).

Matrix Similarity

Giả sử \(A\) và \(B\) là hai ma trận vuông cùng cấp \(n\). Ta nói \(B\) đồng dạng với \(A\), kí hiệu \(A \backsim B\), nếu tồn tại một ma trận khả đảo \(P\) cấp \(n\) sao cho:

\[B = PAP^{-1}\]

Chú ý: Nếu đặt \(Q = P^{-1}\), công thức trên có thể viết lại thành:

\[B = Q^{-1}AQ\]

Giả sử \(T: V\rightarrow V\) là một ánh xạ tuyến tính và \(V\) có \(n\) chiều. Nếu \(A\) là ma trận của \(T\) đối với cơ sở \(B\) và \(A'\) là ma trận của \(T\) đối với cơ sở \(B'\) thì:

\[A' = PAP^{-1}\]

trong đó \(P\) là ma trận chuyển cơ sở từ \(B\) sang \(B'\) (nghĩa là \(P[x]_B = [x]_{B'}\) ).

▶ Chứng minh

Ta có \(A[x]_B = [T(x)]_B\) và \(A'[x]_{B'} = [T(x)]_{B'}\). Suy ra

\[A'[x]_{B'} = [T(x)]_{B'} = P[T(x)]_{B}\\ = PA[x]_B = PAP^{-1}[x]_{B'}\]

Vậy nên:

\[A' = PAP^{-1}\]

Vấn đề rút gọn ma trận

Người ta đặt vấn đề như sau. Cho một ánh xạ tuyến tính với ma trận \(A\) vuông bất kì. Có thể chuyển sang một cơ sở khác bằng ma trận \(P\) sao cho ma trận \(A'\) của ánh xạ nói trên ứng với cơ sở mới có dạng đơn giản hơn \(A\) (chẳng hạn như \(A'\) có dạng chéo, dạng ma trận thưa).