Trong số các ánh xạ từ không gian vector đến không gian vector có một lớp quan trọng là lớp ánh xạ tuyến tính, aka Linear Transformation.

Ánh xạ tuyến tính bảo toàn các tính chất về phép cộng và phép nhân với một số. Cụ thể, nếu có thì:

  •  , .
  •  , .

Cho lần lượt là hai không gian vector chiều và chiều, mọi ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn qua một ma trận .

Gọi là cơ sở của , khi đó, mọi vector có biểu diễn duy nhất:

Vậy nên

Ngoài ra thì nên nếu là cơ sở của thì:

Như vậy, nếu ta viết tọa độ của giá trị ứng với cơ sở trong nói trên thành các cột của một ma trận thì ánh xạ được biểu diễn:

Ma trận gọi là ma trận ánh xạ, aka transformation matrix.

Các ví dụ về ánh xạ tuyến tính

Rotation

Phép quay mặt phẳng tọa độ (không gian Euclid ) một góc là một ánh xạ tuyến tính từ đến chính nó và có ma trận ánh xạ là:

Identically zero mapping

Ánh xạ chiếu từ một đến phần tử trung hòa của gọi là ánh xạ không.

Identity mapping

Ánh xạ định nghĩa bởi được gọi là ánh xạ đồng nhất .

Scaling

Phép biến đổi tỉ lệ là ánh xạ được định nghĩa bởi với . Nếu , nó được gọi là phép giãn (dilation). Nếu , nó được gọi là phép co (contraction).

Orthographic projection

Phép chiếu trực giao (cũng được gọi là orthogonal projection) là ánh xạ được định nghĩa bởi:

Các tính chất của ánh xạ tuyến tính

  là hai không gian vector. là một ánh xạ tuyến tính. Ta có:

  •  
  •  

Tập tất cả các phần tử của có ảnh là được gọi là hạt nhân (kernel hay null space) của ánh xạ, kí hiệu . Đây cũng là một không gian vector, và là không gian con của .

Tập tất cả các phần tử của có ít nhất một nghịch ảnh (pre-image) trong được gọi là ảnh (image) của ánh xạ, kí hiệu . Ta có . Đây là một không gian con của .

Cho là ánh xạ tuyến tính biểu diễn bằng một ma trận . Không gian nghiệm của hệ thuần nhất . Mặt khác, tập hợp những vector sao cho hệ thỏa mãn là , hay gọi cách khác là không gian cột (column space, other names: range, image) của (tức là không gian sinh bởi các cột của ). Số chiều của không gian cột của được gọi là hạng của ánh xạ (và cũng bằng hạng của ):

Định lý về số chiều (Rank-nullity theorem)

  là hai không gian vector, có hữu hạn chiều. là một ánh xạ tuyến tính. Định lý phát biểu rằng tổng số chiều của hạt nhân và ảnh của bằng số chiều của . Tức là:

hay viết cách khác:

▶ Chứng minh

Giả sử có số chiều là (với ). Do đó, sẽ có cơ sở là:

Ta có thể bổ sung thêm vector độc lập tuyến tính để tạo thành:

là cơ sở của .

Ta cần chứng minh chiều. Xét họ vector:

Ta sẽ chứng minh là họ độc lập tuyến tính và sinh ra .


  •   sinh ra :

Xét , ta có:

, và:

(nhắc lại, với , nên )

Như vậy, sinh ra .


  •   là độc lập tuyến tính.

Xét phương trình:

Do đó, có thể được biểu diễn qua một tổ hợp tuyến tính các vector trong , ta viết:

là cơ sở của , nên rút ra được rằng . Suy ra rằng .

Vậy độc lập tuyến tính.


Từ hai điều trên cho thấy là một cơ sở của , nên số chiều của bằng số vector trong bằng .

Trong trường hợp , dễ thấy rằng . Ta đặt là một cơ sở của và chứng minh sinh ra và độc lập tuyến tính:

Vậy sinh ra .

chỉ có một vector duy nhất là 0. Mà độc lập tuyến tính, nên , dẫn đến độc lập tuyến tính.

Vậy .

Trong trường hợp , thêm yếu tố là không gian con của , ta có . Chọn làm cơ sở của .

Như vậy, ta thấy . Tức là , suy ra số chiều bằng 0.

Hệ quả

Nếu là một không gian con của . Nếu ta định nghĩa:

Thì . (Chứng minh tương tự)

Tính đẳng cấu

Xét ánh xạ trong đó là các cấu trúc đại số đi kèm với một luật thành trong (ký hiệu là *). Nếu ta có:

 (cũng áp dụng cho các phép toán đa ngôi)

thì được gọi là một phép đồng cấu (homomorphism).

Áp dụng với ánh xạ tuyến tính , trong đó luật thành trong là phép cộng vector. Ta có:

nên là một phép đồng cấu.

  • Nếu thì gọi là phép tự đồng cấu (endomorphism).

  • Nếu là một song ánh thì gọi là phép đẳng cấu (isomorphism).

  • Nếu là một song ánh thì gọi là phép tự đẳng cấu (automorphism).

Matrix Similarity

Giả sử là hai ma trận vuông cùng cấp . Ta nói đồng dạng với , kí hiệu , nếu tồn tại một ma trận khả đảo cấp sao cho:

Chú ý: Nếu đặt , công thức trên có thể viết lại thành:

Giả sử là một ánh xạ tuyến tính và chiều. Nếu là ma trận của đối với cơ sở là ma trận của đối với cơ sở thì:

trong đó là ma trận chuyển cơ sở từ sang (nghĩa là ).

▶ Chứng minh

Ta có . Suy ra

Vậy nên:

Vấn đề rút gọn ma trận

Người ta đặt vấn đề như sau. Cho một ánh xạ tuyến tính với ma trận vuông bất kì. Có thể chuyển sang một cơ sở khác bằng ma trận sao cho ma trận của ánh xạ nói trên ứng với cơ sở mới có dạng đơn giản hơn (chẳng hạn như có dạng chéo, dạng ma trận thưa).