Một lớp bài toán quan trọng trong đại số tuyến tính là tìm những vector chỉ thay đổi độ dài chứ không thay đổi phương và hướng khi đưa qua một ánh xạ tuyến tính. Nói cách khác, xét , tìm các vector sao cho trong đó là một số thực.

là một toán tử tuyến tính nên có thể biểu diễn bằng một ma trận . Số được gọi là trị riêng (eigenvalue) của (hoặc của ) nếu phương trình có nghiệm . Các nghiệm tìm được được gọi là vector riêng (eigenvector) của (hoặc của ) ứng với trị riêng .

Nếu là một vector riêng của thì () cũng là vector riêng của . Ứng với một trị riêng có nhiều vector riêng, chúng tạo thành một không gian vector, gọi là không gian riêng (eigenspace).

This post is being reviewed. Please help me improve it by reporting mistakes and suggesting changes to my email.

Phương trình đặc trưng

Để tìm các eigenvalue trong , ta viết lại thành , tức là:

Đây là hệ thuần nhất, điều kiện có nghiệm không tầm thường là . Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của (characteristic equation). Vế trái của phương trình gọi là đa thức đặc trưng (characteristic polynomial). Tập các eigenvector ứng với chính là eigenspace . Số chiều của hạt nhân này được gọi là số bội hình học (geometric multiplicity) của .

Phương trình đặc trưng là phương trình ẩn , bậc , có nghiệm, thực hoặc phức, bội hoặc đơn. Đây là phát biểu của định lý đại số cơ bản (Fundamental Theorem of Algebra). Số bội của nghiệm nào đó trong phương trình đặc trưng gọi là số bội đại số (algebraic multiplicity) của . Nếu là ma trận đối xứng cấp thì nó có eigenvalue thực, eigenvector trực chuẩn tương ứng.

Hai ma trận đồng dạng thì có cùng phương trình đặc trưng.

Bài toán chéo hóa ma trận

Cho phép tự đồng cấu là ma trận của ánh xạ dưới cơ sở . Giả sử ma trận vuông bậc eigenvector độc lập tuyến tính. Ta biết rằng ma trận sẽ thay đổi phụ thuộc vào cách chọn cơ sở trong . Ta quan tâm đến một ma trận cũng đại diện cho ánh xạ nhưng trong một cơ sở khác (), sao cho là ma trận chéo. Gọi

là các eigenvector của . Hình thành ma trận vuông bằng cách dựng các eigenvector thành cột và ghép lại. Ta có:

Như vậy là ma trận chéo, đồng dạng với , là biểu diễn của ở cơ sở . Còn là ma trận chuyển cơ sở từ sang (theo nghĩa ).

Chúng ta không thực sự quan tâm đến giá trị cụ thể của . Tuy nhiên, ta vẫn có thể tìm dựa vào ý tưởng rằng vì chuyển từ sang nên các cột của là các vector biểu diễn ở cơ sở . Do đó các vector:

(với chạy từ đến là các vector thuộc cơ sở )

hợp thành cơ sở .

Nhận xét: Như đã nói, các cột của là các vector biểu diễn ở cơ sở . Điều này cũng cho thấy sự thống nhất với cách xây dựng – dùng các eigenvector của , vốn đang được biểu diễn dưới cơ sở .


Trong trường hợp eigenvector trực chuẩn thì việc xây dựng qua cách mô tả ở trên cho thấy là ma trận trực giao (tức là ). Quá trình chéo hóa vẫn được thực thi bình thường.

Dấu hiệu chéo hóa được

“Chéo hóa được” (diagonalizable) có nghĩa là tìm được ma trận sao cho là ma trận chéo. Một số định lý:

  1. Điều kiện cần và đủ để chéo hóa được là eigenvector độc lập tuyến tính
  2. Nếu eigenvalue đôi một khác nhau thì nó cũng có eigenvector độc lập tuyến tính và chéo hóa được

“Chéo hóa trực giao được” (orthogonally diagonalizable) có nghĩa là tìm được ma trận trực giao sao cho là ma trận chéo. Các điều sau là tương đương với nhau:

  1.   chéo hóa trực giao được
  2.   eigenvector trực chuẩn
  3.   là ma trận thực đối xứng

Một số tính chất ở ma trận đối xứng

  • Hai eigenvector thuộc hai eigenspace khác nhau sẽ trực giao với nhau.
  • Số bội đại số, số bội hình học, và số chiều của eigenspace của một eigenvalue bằng nhau. Nói cách khác, nếu eigenvalue có số bội nghiệm trong phương trình đặc trưng là thì có eigenvector độc lập tuyến tính tương ứng với nó.

▶ Chứng minh

chéo hóa được eigenvector độc lập tuyến tính

Chiều thuận: chéo hóa được eigenvector độc lập tuyến tính

chéo hóa được nên tồn tại ma trận khả đảo sao cho là ma trận chéo . Ta có:

Nên là các eigenvector ứng với là các eigenvalue của . Mặt khác vì khả đảo nên các cột của là độc lập tuyến tính. Vậy có các eigenvector độc lập tuyến tính

Chiều nghịch: eigenvector độc lập tuyến tính chéo hóa được

Điều này đã được chứng minh qua việc phân tích bài toán chéo hóa ở trên. Chúng ta xây dựng mảng từ các eigenvector này và chứng minh là ma trận chéo.

eigenvalue khác nhau thì chéo hóa được

Giả sử không chéo hóa được, tức là có eigenvector phụ thuộc tuyến tính. Ta có thể sắp xếp thứ tự các eigenvector sao cho vector đầu tiên là độc lập tuyến tính. Suy ra:

độc lập tuyến tính nên:

với mọi chạy từ 1 đến . Do là một eigenvector nên và các không đồng thời bằng 0, tức là có ít nhất một giá trị nào đó khác 0, dẫn đến . Chứng tỏ eigenvalue không hoàn toàn đôi một khác nhau.

Vậy ta đã chứng minh được không chéo hóa được eigenvalue không đôi một khác nhau.

Điều này tương đương với eigenvalue đôi một khác nhau chéo hóa được.

chéo hóa trực giao được eigenvector trực chuẩn

Chiều thuận: chéo hóa trực giao được nên theo định nghĩa là ma trận trực giao. Chứng minh tương tự như ở phần trên, ta cũng có được các cột của là các eigenvector của . Mặt khác do trực giao nên các eigenvector này cũng trực chuẩn.

Chiều nghịch: Do eigenvector trực chuẩn nên chúng cũng độc lập tuyến tính, dẫn đến chéo hóa được. Mặt khác với cách xây dựng ma trận từ các eigenvector nên trực giao. Vậy chéo hóa trực giao được.

chéo hóa trực giao được là ma trận đối xứng

Chiều thuận: chéo hóa trực giao được nên là ma trận chéo, tức là .

Ta có:

Vậy là ma trận đối xứng.

Chiều nghịch: đối xứng nên eigenvalue thực và eigenvector trực chuẩn tương ứng. Suy ra chéo hóa trực giao được.

Eigenvector tổng quát

Đôi lúc chúng ta không thể tìm được đủ eigenvector độc lập tuyến tính để chéo hóa ma trận. Tuy nhiên nếu ta có thể tìm được một vector

Giả sử có bội số đại số là và bội số hình học là , ta đã biết phương trình:

cho ra eigenvector độc lập tuyến tính. Ta cần phải sinh thêm vector nữa để tạo thành họ vector độc lập tuyến tính. Với mỗi trong eigenvector tìm được, xét phương trình ẩn :

Nhân tiền hai vế với ta có:

Nghiệm tìm được gọi là eigenvector tổng quát bậc 2 (vì số lũy thừa của là 2), ta cần tìm các eigenvector tổng quát nào độc lập tuyến tính với các eigenvector (không kể số bậc) đã tìm được.

Dạng Jordan của ma trận

Mọi ma trận đều đồng dạng với một ma trận có dạng sau:

Trong đó là khối ma trận vuông với tất cả các phần tử bằng 0, và là một khối Jordan.

Mỗi khối Jordan ứng với , ký hiệu là một ma trận vuông mà đường chéo chính chỉ bao gồm và đường chéo ngay trên đường chéo chính chỉ bao gồm các số 1:

Số khối Jordan trong dạng Jordan () bằng số chiều của eigenspace bậc 1. Tức là:

với là bội số hình học của , là số nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng.

Một eigenvalue có thể ứng với nhiều khối Jordan. Số khối Jordan ứng với eigenvalue bằng . Tổng kích thước các khối Jordan ứng với eigenvalue bằng (bội số đại số). Tuy nhiên kích thước của từng khối Jordan lại phụ thuộc vào cách mà các eigenvector tổng quát được sinh ra.

Ví dụ

Giả sử là ma trận với 3 eigenvalue phân biệt: (alg mult = 1, geom mult = 1), (alg mult = 2, geom mult = 1), và (alg mult = 4, geom mult = 2).

Xét từng eigenvalue:

  1. . Có 1 Jordan block, với tổng kích thước là 1. Vậy:

  2. . Có 1 Jordan block, với tổng kích thước là 2. Vậy:

  3. . Có 2 Jordan block, với tổng kích thước là 4. Vậy có các trường hợp:

  •  , xảy ra khi bạn dùng một eigenvector để sinh ra hai eigenvector tổng quát

  •  , xảy ra khi bạn dùng mỗi eigenvector để sinh ra thêm một eigenvector tổng quát

Như vậy dạng Jordan của ma trận trên có thể là:

hoặc là

Tùy vào giá trị cụ thể của ma trận sẽ dẫn đến cách sinh eigenvector tổng quát khác nhau, kéo theo dạng Jordan khác nhau. Tất cả dạng Jordan của một ma trận đều là hoán vị của nhau, nếu bỏ qua các hoán vị này thì dạng Jordan là duy nhất.

Trong những phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất liên quan đến dạng Jordan và thuật toán.

Ý nghĩa của

Gọi là dạng Jordan của . Ta có:

(tức là mỗi phần tử trên đường chéo của bị trừ đi )

Để ý thấy rằng nếu một khối Jordan nào đó tương ứng với , thì có đường chéo chính bằng 0 và đường chéo ngay trên chéo chính bằng 1:  , hoặc , hoặc , ……

Còn nếu khối không tương ứng với thì các đường chéo của nó đều khác 0.

Ta thừa nhận điều sau: Số chiều của hạt nhân của hai ma trận đồng dạng thì bằng nhau. Số chiều của (lưu ý là – dạng Jordan của , không phải khối Jordan ) bằng số dòng 0 của nó. Như vậy chỉ có các khối Jordan ứng với đóng vai trò trong số chiều của hạt nhân . Mỗi khối Jordan như vậy có một hàng 0, vậy các đại lượng sau là bằng nhau:

  • Số khối Jordan ứng với
  • Nullity của
  • Nullity của
  • Số chiều của eigenspace bậc 1
  • Số eigenvector độc lập tuyến tính của tìm được qua phương trình

Ý nghĩa của

Không khó để nhận ra: Lũy thừa của một ma trận đường chéo bằng ma trận mới với mỗi phần tử trên đường chéo được nâng lên với lũy thừa đó. Nếu đường chéo được cấu thành từ những khối ma trận vuông thì cũng áp dụng tương tự.

Giả sử ta viết gọn: .

Tương tự ta cũng thấy được nullity của cũng được quyết định bởi những khối Jordan ứng với . Như đã bàn ở trên, , giả sử , có dạng:

Khi nâng lũy thừa của lên bậc 2, bậc 3, …, một dấu hiệu hiện ra:

Vậy:

Ngoài ra, vì:

(với mọi sao cho tương ứng với ), nên:

Nhắc lại rằng bằng 0 nếu , ngược lại bằng 1. Vậy bằng số khối Jordan ứng với và có kích thước ít nhất là .

Đặt:

Ta thấy rằng là một dãy giảm dần về 0 khi đạt đến kích thước của khối Jordan lớn nhất ứng với .

Thuật toán tìm dạng Jordan

  1. Tìm các eigenvalue phân biệt và các alg mult và geom mult đi kèm với nó.
  2. Với mỗi eigenvalue với alg mult = và geom mult = (số eigenvector độc lập tuyến tính tìm được), không gian riêng tổng quát (generalized eigenspace) được định nghĩa:

Ta sẽ lần lượt tính , , … và dừng lại tại khi số chiều của không gian riêng tổng quát này đạt .

  1. Tính các giá trị
  2. Ta lập một sơ đồ gồm hàng như sau. Hàng vector. Ví dụ ta có các giá trị lần lượt là 5, 3, 3, 2. Điều đó có nghĩa là có 5 khối Jordan có kích thước ít nhất 1x1, 3 khối Jordan có kích thước ít nhất 2x2, 3 khối Jordan có kích thước ít nhất 3x3, và 2 khối Jordan có kích thước ít nhất 4x4.
     
     
     
     

  3. Xem số ô trên từng cột của sơ đồ: 4, 4, 3, 1, 1. Đây là các kích thước cụ thể của 5 khối Jordan ứng với .
  4. Lặp lại bước 2 với eigenvalue tiếp theo cho đến khi hết danh sách eigenvalue.

Thuật toán tìm ma trận chuyển cơ sở

Trong bài toán chéo hóa được, ma trận chuyển cơ sở giữa và ma trận chéo được hình thành từ những eigenvector của dựng thành cột. Ý tưởng cho ma trận chuyển cơ sở giữa và dạng Jordan cũng tương tự, với việc sử dụng các eigenvector tổng quát.

Với mỗi eigenvalue , xét sơ đồ ô vuông miêu tả ở trên. Ta lần lượt điền từ hàng dưới cùng đến hàng trên cùng. Tại hàng ta điền các eigenvector chỉ thuộc mà không thuộc và nó phải độc lập tuyến tính với các eigenvector đã điền trong cùng hàng đó. Nói cách khác, eigenvector được điền vào phải độc lập tuyến tính với các eigenvector đã điền. Ngoài ra thì nếu tại một ô ta điền eigenvector thì ô ngay phía trên đó ta điền

Lần lượt liệt kê ra các eigenvector đã điền trong sơ đồ theo thứ tự từ trái sang phải, từ trên xuống dưới. Tiếp nối danh sách này với các eigenvector ứng với các eigenvalue khác. Dựng tọa độ của tất cả các eigenvector (biểu diễn qua cơ sở hiện tại của ) thành cột và ghép chúng lại theo thứ tự đó để ra được .

Dạng Jordan ứng với xây dựng theo cách này cũng phải được xây dựng tương tự. Lần lượt liệt kê ra số ô trên các cột từ trái sang phải (e.g. 4, 4, 3, 1, 1). Tiếp nối danh sách này với các eigenvalue khác. Dạng Jordan tương ứng với sẽ có kích thước các khối Jordan lần lượt theo danh sách này.

Read more