Ghi lại nhanh sau này coi lại, đã dốt toán lại còn không nhớ dai.

Cho ma trận \(m\times n\) sau:

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}\]
  • Đối với ma trận vuông \(A\) bậc \(n\), đường chéo gồm các phần tử \(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{mn}\) được gọi là đường chéo chính (principal or leading diagonal). Tổng các phần tử trên đường chéo chính gọi là trace của \(A\).
  • Ma trận chéo là ma trận mà các phần tử khác 0 chỉ nằm trên đường chéo chính. Trường hợp đặc biệt, nếu cả đường chéo chính chỉ gồm các số 1 thì đó gọi là ma trận đơn vị (identity or unit matrix).
  • Cách tạo ma trận chuyển vị \(A^T\): Đem cột rải thành hàng
  • Ma trận đối xứng (symmetric matrix) khi \(A = A^T\), phản đối xứng (skew symmetric matrix) khi \(A = -A^T\)
  • Hai ma trận bằng nhau khi chúng có cùng shape, các cặp phần tử tương ứng đều bằng nhau.
  • Nhân vô hướng (multiplication by a scalar) một số với ma trận: nhân số đó với từng phần tử trong ma trận
  • Cộng ma trận (phải cùng shape): các cặp phần tử tương ứng cộng nhau
    • Tính chất giao hoán (commulative) \(A+B=B+A\)
    • Tính chất kết hợp (associative) \((A+B)+C=A+(B+C)\)
    • Tính chất phân phối (distributive): \(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)
  • Nhân ma trận a[m][n] với b[n][k], tạo ra ma trận c[m][k]:
1
2
3
4

    for i in range(m):
        for j in range(k):
            for x in range(n):
                c[i][j] += a[i][x] * b[x][j]
  • Tính chất nhân ma trận:
    • Phản giao hoán: \(AB\neq BA\)
    • Tính chất kết hợp: \((AB)C=A(BC)\)
    • Nếu \(\lambda\) là số, thì: \((\lambda A)B = A(\lambda B) = \lambda(AB)\)
    • Tính chất phân phối với phép cộng: \((A+B)C=AC+BC\) và \(A(B+C)=AB+AC\)
  • Tính chất của ma trận chuyển vị:
    • \[(A+B)^T=A^T+B^T\]
    • \[(A^T)^T = A\]
    • \[(AB)^T=B^TA^T\]

Định thức (determinant) của ma trận vuông bậc \(n\) \(A\) được định nghĩa đệ quy như sau:

  • Nếu ma trận chỉ có một phần tử, \(\|A\| = a_{11}\)
  • Ngược lại, \(\|A\|=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\) (với \(i\) bất kì), trong đó \(M_{ij}\) là định thức của ma trận vuông còn lại sau khi bỏ hàng \(i\) cột \(j\).

Khái niệm:

  • \(M_{ij}\) được gọi là minor của phần tử \(i,j\)
  • \((-1)^{i+j}M_{ij}\) được gọi là cofactor của phần tử \(i,j\)

Tính chất của định thức:

  • Nếu matrix có hai hàng (cột) bằng nhau thì det bằng 0.
  • Nếu một hàng (cột) của matrix cùng chia hết cho một số \(\lambda\) thì có thể tách nhân tử \(\lambda\) ra ngoài matrix, tính det của matrix mới, rồi nhân với \(\lambda\) để có được det của matrix ban đầu.
  • Tráo đổi hai hàng (cột) của matrix làm đổi dấu det.
\[\begin{vmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\]
  • \[\|A^T\|=\|A\|\]
  • \[\|AB\|=\|A\|B\|\]

Ma trận liên hợp (adjoint matrix) là ma trận chuyển vị của ma trận các cofactor của một ma trận vuông.

  • \[A(\textrm{adj}\ A) = \|A\|I\]
  • \(\|\textrm{adj}\ A\|=\|A\|^{n-1}\), với \(n\) là bậc của ma trận
  • \[\textrm{adj}\ AB=(\textrm{adj}\ B)(\textrm{adj}\ A)\]

Ma trận nghịch đảo:

  • \[A^{-1}A=AA^{-1}=I\]
  • Nếu det của A khác 0: \(A^{-1}=(\textrm{adj}\ A)^T/\|A\|\), ngược lại thì nghịch đảo của A không tồn tại
  • \[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]