Bài viết sau cung cấp các hàm và cú pháp thao tác cơ bản với ma trận trong Python. Hai thư viện được sử dụng là sympy và numpy. Một số hàm của numpy vẫn nhận parameter của sympy. Thư viện sympy chủ yếu được dùng để render kết quả dạng $\LaTeX$

import sympy as sp
import numpy as np
from IPython.display import display
sp.init_printing()

Khởi tạo một ma trận:

A = np.matrix([[-1, 6, -12], [0, 18, -30], [0, 9, -15]]) # Use matrix, same
B = np.array([[1, 2, -1], [3, 5, 1], [4, 7, -5]]) # Use array, same
print(A)
print(B)

[[ -1   6 -12]
 [  0  18 -30]
 [  0   9 -15]]
[[ 1  2 -1]
 [ 3  5  1]
 [ 4  7 -5]]

Khởi tạo vector

V = np.array([1, 2, 3])
print(V)

[1 2 3]

Trace của ma trận

np.trace(A)

2

Ma trận chuyển vị

sp.Matrix(A.T)

$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\6 & 18 & 9\\-12 & -30 & -15\end{matrix}\right]$$

Ma trận đơn vị

sp.Matrix(np.identity(3, int))

$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$

Cộng trừ hai ma trận

sp.Matrix(A + B)

$$\left[\begin{matrix}0 & 8 & -13\\3 & 23 & -29\\4 & 16 & -20\end{matrix}\right]$$

Nhân hai ma trận

A = np.matrix([[-1, 6, -12], [0, 18, -30], [0, 9, -15]])
B = np.matrix([[1, 2, -1], [3, 5, 1], [4, 7, -5]])

Element-wise multiplication

sp.Matrix(np.multiply(A, B)) 

$$\left[\begin{matrix}-1 & 12 & 12\\0 & 90 & -30\\0 & 63 & 75\end{matrix}\right]$$

Phép nhân ma trận

https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.dot.html

A = sp.Matrix([[-1, 6, -12], [0, 18, -30], [0, 9, -15]])
B = sp.Matrix([[1, 2, -1], [3, 5, 1], [4, 7, -5]])

sp.Matrix(A*B)

$$\left[\begin{matrix}-31 & -56 & 67\\-66 & -120 & 168\\-33 & -60 & 84\end{matrix}\right]$$

sp.Matrix(A@B)

$$\left[\begin{matrix}-31 & -56 & 67\\-66 & -120 & 168\\-33 & -60 & 84\end{matrix}\right]$$

sp.Matrix(3*A)

$$\left[\begin{matrix}-3 & 18 & -36\\0 & 54 & -90\\0 & 27 & -45\end{matrix}\right]$$

Tích vô hướng hai vector

np.dot(np.array([1,2,3]), np.array([3,4,5]))

26

Định thức của ma trận

A = np.matrix([[1, 2, -1], [3, 5, 1], [4, 7, -5]])
np.linalg.det(A) # Only numpy

$$5.0$$

Nghịch đảo ma trận

A = np.matrix([[1, 3, -1], [3, 5, 1], [4, 7, -5]]) # Use numpy
sp.Matrix(A**-1) # Ugly result

$$\left[\begin{matrix}-1.33333333333333 & 0.333333333333333 & 0.333333333333333\\0.791666666666667 & -0.0416666666666667 & -0.166666666666667\\0.0416666666666667 & 0.208333333333333 & -0.166666666666667\end{matrix}\right]$$

A = sp.Matrix([[1, 3, -1], [3, 5, 1], [4, 7, -5]]) # Use sympy
sp.Matrix(A**-1) # mmmmmm

$$\left[\begin{matrix}- \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\\frac{19}{24} & - \frac{1}{24} & - \frac{1}{6}\\\frac{1}{24} & \frac{5}{24} & - \frac{1}{6}\end{matrix}\right]$$

Eigenvalue & Eigenvector

A = np.matrix([[-1, 6, -12], [0, 18, -30], [0, 9, -15]])

np.linalg.eig(A)[0] # Only numpy

array([-1.,  3.,  0.])

np.linalg.eig(A)[1] # Only numpy

matrix([[ 1.        ,  0.        , -0.71713717],
        [ 0.        ,  0.89442719,  0.5976143 ],
        [ 0.        ,  0.4472136 ,  0.35856858]])

Đối với sympy:

A = sp.Matrix([[-1, 6, -12], [0, 18, -30], [0, 9, -15]])

Hàm eigenvals() trả về dạng (eigenvalue : algebraic multiplicity)

A.eigenvals() # Only with sympy

$$\left \{ -1 : 1, \quad 0 : 1, \quad 3 : 1\right \}$$

Kết quả trả về gồm (eigenvalue, algebraic multiplicity, eigenvector)

A.eigenvects() # Only with sympy

$$\left [ \left ( -1, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 0, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}-2\\\frac{5}{3}\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 3, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}0\\2\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]$$

Jordan canonical form

Trả về (modal matrix, Jordan canonical form).

Jordan canonical form có thể là spectral form nếu tất cả các eigenvectors đều linearly independent

A.jordan_form() # Only with sympy

$$\left ( \left[\begin{matrix}1 & -2 & 0\\0 & \frac{5}{3} & 2\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right]\right )$$